La probabilidad de reencontrar tu vieja matrícula

Las matrículas de los coches se reciclan. La placa de matrícula es propiedad de la administración, así que cuando cambias de coche te dan una nueva y la vieja permanece bloqueada durante un cierto tiempo hasta que finalmente se asigna a otro vehículo. La Sra. Tempora-Mores encontró aparcado (¡precisamente en Usingen!) hace poco un coche que tenía el mismo número de matrícula que nuestro viejo Golf. ¿Cuáles son las probabilidades de que tan emocional encuentro ocurra?

Una matrícula conocida

En primer lugar hay que saber que las matrículas aquí están organizadas en distritos geográficos. En mi distrito (Hochtaunuskreis), todas las matrículas empiezan por HG¹. Dentro del distrito Hochtaunuskreis las matrículas constan de dos letras y de un número del 100 al 999 (otros distritos más grandes tienen por ejemplo números de cuatro dígitos). También hay matrículas especiales de una letra y de uno o dos dígitos pero no son habituales: hay que demostrar la necesidad técnica de poseer una matrícula tan corta para que te sea asignada. Su número total es practicamente despreciable, así que se puede decir que en mi distrito hay teóricamente unas 26 x 26 x 900 = 608400 matrículas distintas.

No todas esas matrículas están asignadas en un momento dado. Por una parte están las matrículas temporalmente bloqueadas (como mencionaba arriba) y por otro estoy seguro de que no hay 600000 vehículos matriculados en Hochtaunuskreis, ¡no sería el caso ni aun teniendo dos coches cada habitante, menores de edad incluidos! Además, en Alemania está muy extendida la práctica de la "matrícula personalizada": por una pequeña propina en el proceso de matriculación (unos 13 euros) puedes elegir letras y cifras a tu antojo². Así que saber la cantidad exacta de matrículas asignadas no es fácil y no se puede deducir de la letra o número "más alto" que hayas visto en circulación.

He hecho una estimación del número total de matrículas HG jugando con la aplicación en línea que te permite reservarlas, aprovechando que cada vez que eliges una matrícula que ya está previamente reservada te ofrecen una lista alternativa de las 50 matrículas circundantes que todavía están libres. Extrapolando la densidad de "huecos" en esa lista había llegado a la conclusión de que la mitad de las matrículas teóricamente disponibles están en uso o bloqueadas, pero los amables señores de tráfico (¡un cordial agradecimiento desde aquí!) me han confirmado hoy por correo que hay 164000 automóviles con matrícula HG circulando por la república federal.

Supongamos que la fracción de vehículos HG fuera del Hochtaunuskreis es despreciable (de hecho, si te mudas dentro de Alemania, estás obligado a cambiar de matrícula) y suponiendo de manera recíproca que la mayor parte de coches que circulan en Hochtaunuskreis tienen matrícula HG: ¿Cuáles son las probabilidades de que un día de paseo por dentro de mi distrito me tope con una matrícula anterior mía? Como sólo he tenido un coche antes, se trata de 1 sóla matrícula entre unas 164000. Es decir, la probabilidad de que una matrícula dada no sea mi vieja matrícula es 0,999994.

Pero en un día de paseo ves muchos vehículos, aunque te fijas en muchas menos matrículas. Pongamos que dejas caer la vista involuntariamente en la matrícula del coche que está aparcado detrás, en el desgraciado que te adelanta sin poner el intermitente o simplemente en el que está esperando delante de ti en el semáforo... postulo que serán como máximo 100 matrículas. Si todos estos sucesos son independientes, la probabilidad de que ninguna de ellas sea mi vieja matrícula es 0,999994^100 = 0,9994. En realidad sería más correcto calcular (163999/164000) * (163998/163999) * ... * (163900/163901), pero hemos hecho ya tantas aproximaciones y los números son tan parecidos que esta aproximación no es relevante. Es decir, que un día cualquiera tengo 1 posibilidad entre 1700 (ó 0,0006) de ver mi antigua matrícula.

Ahora por último: hace ya casi dos años que cambié de coche (nota mental para mí: pasarle ya la revisión al Touran). ¿Cómo afecta todo este tiempo transcurrido a la probabilidad final? Ciertamente no me fijo casi en coches cuando voy de peatón (corrijo, jóvenes lectores: si cruzo la calle, siempre miro antes a izquierda y derecha) y tampoco conduzco todos los días. Pongamos que sólo conduzco los fines de semana, es decir, unos 150 días desde principios de 2008. ¿Cuál es la probabilidad de que el reencuentro no ocurriera ninguno de esos días? Se da el fenómeno de que las personas (y sus coches) no se mueven de manera aleatoria y equiprobable por todo su distrito geográfico, sino que siguen rutas habituales y permanecen dentro de ellas, y yo también lo hago. Es decir, si no he topado la matrícula en cuestión al cabo de cincuenta días, la probabilidad de que la encuentre el día 51 siguiendo por mi ruta habitual es baja, y el día 100 todavía menor. Si a pesar de ello suponemos la independencia de los eventos, la probabilidad condicional es el producto de probabilidades de no reencuentro, o sea: 0,9994^150 = 0,91. O puesto al revés, casi una posibilidad entre diez de que al cabo de este tiempo volviera a ver mi viejo identificador. Visto así, no suena tan improbable...


¹ Inciso inevitable: Todas las denominaciones geográficas usadas en matrículas de coche son nombres de dominio reservados bajo DE. Pero esa historia para otro día.
² No, AC-104 no significaba absolutamente nada.